بررسی حل معادلات عددی دیفرانسیل
معرفی معادلات دیفرانسیل
معادله در ریاضیات وقتی با اسم خاص و صورت خاص می آید خود به تنهایی مسأله ای را نمایش می دهد که در آن می خواهیم مجهولی را بدست آوریم.
کاربرد معادله دیفرانسیل از نظر تاریخی با معرفی مفهوم های مشتق و انتگرال آغاز گردید. ساده ترین نوع معادله دیفرانسیل آن دسته از معادلاتی هستند که مشتق تابع جواب را داشته باشیم. که چنین محاسبه ای به پاد مشق گیری و انتگرال گیری نامعین موسوم است.
معادلات دیفرانسیل وابستگی بین توابع و مشتق های توابع را نشان می دهد. که از لحاظ تاریخی به طور طبیعی از زمان کشف مشتق به وسیله نیوتن ولایب نیتس آغاز می شود. (قرن هفدهم میلادی). که با رشد سریع علم و صنعت در قرن بیستم روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل مورد توجه قرار گرفتند که توسعه و پیشرفت کامپیوتر ها در پایان قرن بیستم موجب کاربرد روش های تقریبی تعیین جواب معادلات دیفرانسیل در بسیاری از زمینه های کاربردی گردید که باعث بوجود آمدن مباحث جدید در این زمینه شد.
اگر تابعی از متغیر حقیقی باشد و ضابطه آن و متغیر تابع یا مقدار تابع باشد، آنگاه مشتق با یکی از نمادهای نمایش داده می شود. همچنین مشتق دوم، سوم،... و ام آن نیز به ترتیب با نمادهای
نمایش داده می شوند. اگر تابعی از دو متغیر حقیقی باشد آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای نمایش داده می شوند. همچنین اگر آنگاه مشتق های جزئی با نمادهای و یا
نمایش داده می شوند.
همچنین داریم:
که این توابع مشتقات جزئی مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.
همچنین برای توابع متغیر حقیقی داریم:
که فرض می کنیم همه مشتقات جزئی تا مرتبه مورد نظر پیوسته باشند.
حال برای تابع از متغیر حقیقی با مقدار حقیقی را دیفرانسیل تابع گویند. اگر تابع از متغیر حقیقی باشد.
را دیفرانسیل کامل تابع گویند. که در حالت خاص اگر از دو متغیر حقیقی با مقدار حقیقی باشد داریم:
یک معادله دیفرانسیل هر کدام از توابع ضمنی از متغیر یا متغیرهای مستقل، متغیر یا متغیرهای تابع و مشتق های متغیر یا متغیر های تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل می تواند باشد که حتماً باید لا اقل یک مشتق ساده یا جزئی در آن حضور داشته باشد.
معادله دیفرانسیل یک نوع از معادلات دیفرانسیل است که فقط یک متغیر مستقل در آن وجود دارد. و متغیر تابع و
مشتقات مرتبه اول تا ام نسبت به است. متغیر می توانند در معادلات دیفرانسیل نباشند ولی حضور لااقل یک مشتق الزامی است. معادله دیفرانسیل
یک نوع معادله است که شامل متغیر مستقل است و فقط یک متغیر تابع دارد که در آن تابعی از ها است.
برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل می گوییم هرگاه همه مشتق های ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله
دیفرانسیل معمولی (یا ساده یا عادی) می نامیم. اما اگر در عبارت معادله لااقل یک مشتق جزئی ظاهر شود آن را یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا معادله دیفرانسیل نسبی می نامیم.
معادلات دیفرانسیل زیر از جمله معادلات دیفرانسیل مهم هستند:
(معادله خطی غیر همگن)؛
(معادله بزنولی)
(معادله ریکاتی)
(معادله لا پلاس)
(معادله کلرو) غیر خطی؛
(معادله لاگرانژ) غیر خطی؛
(معادله یک بعدی حرارتی) ثابت؛
(معادله اولر) ثابت؛
(معادله لژ اندر) ثابت؛
(معادله بسل) ثابت نا منفی؛
(معادله پواسن)
(معادله یک بعدی موج) ثابت؛
(معادله ترافیک)
(معادله لاگرانژ)
(معادله پفافی)
(معادله ارتعاش تیر) ثابت
از معادلات دیفرانسیل فوق معادلات (3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12) معادلات دیفرانسیل معمولی و بقیه معادلات دیفرانسیل نسبی می باشند.
اگر بخواهیم یک معادله را به صورت دیفرانسیلی بنویسیم می توانیم به جای عبارت را جایگزین کنیم. مثلاً برای معادله به صورت
است.
یک روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مرتبة آنها است که مرتبة یک معادله دیفرانسیل عبارت است از بزرگترین مرتبه مشتق یا مشتقات ظاهر شده در عبارت معادله دیفرانسیل. با توجه به معادلات فوق می بینیم که معادلات (3) و(4)و(5)و(7)و(8)و(15)و(16)و(17) معادلات مرتبه اول و معادلات (6)و(9)و(10)و(11) و(12)و(13)و(14) معادلات مرتبه دوم و معادله دیفرانسیل (18) یک معادله مرتبه چهارم است.
وقتی معادلات دیفرانسیل هر کدام دارای بیش از یک متغیر تابع باشند در این صورت معادلات به تنهایی ظاهر نمی شوند و مجموعه ای از آنها مورد استفاده قرار می گیرد که اغلب تعدادشان با تعداد متغیرهای تابع برابر است. این گونه معادلات را دستگاه معادلات دیفرانسیل می نامیم.
یک روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مفهوم خطی بودن یا غیر خطی بودن معادلات دیفرانسیل است.
یک معادله دیفرانسیل معمولی یا با مشتقات جزئی داده شده را یک معادله دیفرانسیل خطی در مجموعه متغیرهای تابعی اش گوئیم هر گاه:
1) متغیر یا متغیرهای تابع از توان یک باشند.
2) متغیر تابع یا متغیرهای تابع و مشتقات، ضریب متغیرهای تابعی و مشتقات آنها نباشند.
3) خود متغیر تابعی غیر خطی نباشد.
در غیر این صورت اگر هر کدام از شرطهای بالا نقص شود معادله دیفرانسیل غیر خطی است از معادلات مهم که ارائه کردیم معادلات (3)و(6)و(9)و(10) و(11) و(12) و(13) و (14) و (18) خطی هستند و معادله (4) (به دلیل حضور ) و (5) (به دلیل حضور )، (7) (به دلیل غیر خطی بودن ) و (8) (برای لا اقل غیر خطی بودن )
غیر خطی هستند. معادلات (16) و (17) می توانند خطی یا غیر خطی باشند.
همچنین می توان خطی بودن را نسبت به یک عامل از معادله دیفرانسیل، مانند متغیر تابع یا متغیرهای تابع، یا مشتق از مرتبه مشخصی تعیین نمود. این گونه معادلات نیمه خطی یا شبه خطی نامیده می شوند. مثلاً معادله
که یک معادله غیر خطی نسبت به متغیر تابع به دلیل حضور و همچنین به علت حضور است را می توان یک معادله خطی نسبت به مشتقات جزئی نامید. یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی معمولی به صورت کلی
3 روش های تکراری
روش قبل نشان داد که چگونه باید معادله تفاضلی لاپلاس را با ساختن یک دستگاه خاص از معادلات خطی و حل آن، حل کرد. نقطة ضعف این روش ذخیره سازی است. هر گره داخلی یک معادله وارد می کند که باید حل شود. چون تقریب های بهتر نیاز به شبکه با مربعهای ظریفتر ممکن است تعداد زیادی معادله لازم باشد برای مثال، جواب معادله لاپلاس با شرایط مرزی دیریکله نیاز به حل یک دستگاه معادله دارد. اگر به تعداد کمی مربع تقسیم شود مثلاً 10 در 10، 91 معادله و 91 مجهول یافت خواهد شد. بنابراین معقول است که تکنیکهایی را گسترش دهیم که مقدار ذخیره سازی را کاهش دهند. یک روش تکراری فقط نیاز به ذخیره سازی 100 تقریب عددی از سرتاسر شبکه دارد.
اجازه دهید با معادله لاپلاس
(18)
شروع کنیم. فرض کنید که مقادیر مرزی در نقاط زیر معلوم باشند.
(در طرف چپ) به ازای
(در پایین) به ازای
(19)
(در طرف راست) به ازای
(در بالا) به ازای
معادله (18) را دوباره به شکل زیر می نویسم که برای تکرارها مناسب است:
(20)
که در آن
به ازای
مقادیر آغازین برای نقاط داخلی شبکه باید فراهم شوند. ثابت ، که میانگین مقدار مرزی ارائه شده در (19) است، می تواند برای این هدف استفاده شود. یک تکرار از اجرای فرمول (20) درمورد تمام نقاط داخلی شبکه تشکیل می شود. تکرارهای متوالی عملگر تکراری لاپلاس
(20) را در مورد همه نقاط داخلی شبکه اجرا می کنند تا جملة مانده
در طرف راست (20) به صفر کاهش یابد.( یعنی به ازای هر
برقرار باشد) سرعت همگرایی برای کاهش همه مانده های
به صفر با استفاده از روشی که فوق تخفیف متوالی نامیده می شود افزایش می یابد. روش فوق تخفیف متوالی از فرمول تکراری زیر استفاده می شود:
(22)
که در آن پارامتر در دامنه قرار دارد. در روش فوق تخفیف متوالی فرمول (22) در سراسر شبکه اجرا می شود تا رابطه
برقرار گردد: انتخاب بهینه برای مبتنی بر مطالعه مقادیر ویژه ماتریسهای تکرار برای دستگاههای خطی است و در این حالت توسط فرمول زیر ارائه می شود:
(23)
اگر شرط مرزی نویمان بر روی قسمتی از مرز مشخص شود ما باید معادله (14) تا (17) را دوباره به شکلی بنویسیم که برای تکرار مناسب باشند. چهار حالت در زیر خلاصه شده اند و پارامتر تخفیف را نیز وارد کرده اند.
(24) (ضلع پایین)
(25) (ضلع بالا)
(26) (ضلع چپ)
(27) (ضلع راست)
مثال: از یک روش تکراری استفاده کنید و یک جواب تقریبی برای معادله لاپلاس در به دست آورید که در آن مقادیر مرزی عبارتند از:
به ازای
و
به ازای
حل: برای توضیح مربع را به 64 مربع با اضلاع تقسیم می کنیم. مقدار اولیه را در نقاط داخلی شبکه برابر به ازای هر
و قرار داده و سپس روش فوق تخفیف را با پارامتر (در فرمول (23) قرار داده شده اند) به کار می بریم. بعد از 19 تکرار مانده به صورت یکنواخت کاهش می یابد (یعنی ) تقریبهای حاصل در جدول زیر ارائه شده اند. به واسطة گسسته بودن تابع مرزی در گوشه ها مقادیر مرزی
در جدول و شکل وارد شده اند. اما در محاسبات مربوط نقاط داخلی شبکه استفاد ه نمی شوند. یک نمایش سه بعدی از داده ها نیز ارائه شده است.
فهرست
مقدمه – معرفی معادلات دیفرانسیل 4
بخش اول – حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی 20
فصل اول – معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرط اولیه 20
فصل دوم – معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرایط مرزی 66
فصل سوم – معادلات دیفرانسیل خطی 111
بخش دوم – حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی 125
فصل اول – حل معادلات عددی هذلولوی 128
فصل دوم – حل معادلات عددی سهموی 146
فصل سوم – حل معادلات عددی بیضوی 164
فصل چهارم – منحنی های مشخصه 184